动态规划是算法学习中的重要内容，也是很多面试中的高频考点。今天我来详细总结一下动态规划的核心概念和解题方法。
## 什么是动态规划
动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题来求解复杂问题的方法。它通常用于求解最优化问题。
## 动态规划的核心要素
### 1. 最优子结构
问题的最优解包含子问题的最优解。这意味着我们可以通过子问题的最优解构造出原问题的最优解。
### 2. 重叠子问题
在递归求解过程中，有些子问题会被重复计算多次。动态规划通过存储子问题的解来避免重复计算。
## 动态规划的解题步骤
### 第一步：定义状态
确定需要存储哪些子问题的解。状态定义要满足：
- 能够描述问题的特征
- 状态转移关系明确
- 边界条件清晰
### 第二步：状态转移方程
找出状态之间的关系，这是动态规划的核心。
### 第三步：确定边界条件
明确初始状态和递推的终止条件。
### 第四步：计算顺序
确定是自顶向下还是自底向上计算。
## 经典例题分析
### 1. 斐波那契数列
```python
def fibonacci(n):
if n <= 1:
return n
dp = [0] * (n + 1)
dp[0] = 0
dp[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
return dp[n]
```
### 2. 背包问题
```python
def knapsack(weights, values, capacity):
n = len(weights)
dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for w in range(capacity + 1):
if weights[i-1] <= w:
dp[i][w] = max(
dp[i-1][w],
dp[i-1][w-weights[i-1]] + values[i-1]
)
else:
dp[i][w] = dp[i-1][w]
return dp[n][capacity]
```
### 3. 最长递增子序列
```python
def length_of_lis(nums):
if not nums:
return 0
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
```
## 常见的优化技巧
### 1. 空间优化
如果状态转移只依赖于前几个状态，可以用滚动数组来优化空间复杂度。
### 2. 记忆化搜索
对于某些问题，自顶向下的记忆化搜索比自底向上的递推更直观。
### 3. 状态压缩
对于多维状态，可以考虑状态压缩来减少空间复杂度。
## 练习建议
1. 从简单的题目开始，如斐波那契、爬楼梯等
2. 理解每种题型的状态定义和转移方程
3. 多画图，帮助理解状态转移过程
4. 总结常见的状态转移模式
5. 定期复习，巩固理解
动态规划需要大量的练习才能真正掌握。不要急于求成，循序渐进地学习，你会发现自己的算法思维在不断提升。